整数之间的维度：我们能测量海岸线的长度吗？

测量海岸线

香港的海岸线有多长？以下是来自不同组织的答案：

什么导致这些数据之间的差异？英国数学家Lewis Fry Richardson（1881–1953）曾经研究边境长度与爆发战争之间的关联，但他亦对文献中不一致的边境长度感到无所适从 [4]。他发现葡萄牙一方的资料报告其与西班牙的边境长度为1,214公里，而西班牙一方则声称长度为987公里 [5]。这个差异及后延伸出“海岸线悖论”的发现。

为什么对同一海岸线作的测量结果会有所不同？让我们先了解如何有系统地量度复杂形状的长度。对于由数学函数定义的光滑曲线（例如没有角的曲线），我们可以用微积分来计算其确实长度。然而，对于像海岸线那些现实世界中参差不齐的非规则形状，并没有一条简单公式行得通。它们的复杂性需要有系统的方法来对付，例如使用多条固定长度的线段来准确地估计长度，确保每次量度都能得出一致的结果。

试想像一条光滑但看似随意的曲线（图1）。凭直觉思考，我们似乎可以用一根线来模仿其形状。尽管这是一个准确的方法，但实际在计算机上并不能这样操作。这也不是有系统的方法，因为绳子的形状取决于它的放置方式，使每次量度结果不一致且难以重复，尤其当我们将此方法应用在复杂如海岸线的形状时。换个方法，我们可以使用长度相等的直线段（姑且称之为“小棒”）来估计曲线长度，正如图1b和图1c就使用了不同长度的小棒。我们将小棒的长度相加，以获得曲线长度的近似值。随着我们选用更短的小棒，就可以期望近似值将变得越发准确。在理想情况下，当每根小棒的长度足够短时，我们就可以对曲线长度作出非常精准的估计。

图1：（a）一条光滑但看似随意的曲线。（b）及（c）分别使用两款长度相等的直线段来估计曲线长度。

可是，当人们用这个方法测量大不列颠岛的海岸线时，结果却出人意表。使用较短的小棒会得出惊人的长度：使用一米小棒时海岸线将超过15,000公里 [6]，这比地球直径（12,756公里）还要长 [7]！结果违反我们对“更精细量度能带来更准确结果”的预期，因此显然地，海岸线并不是一个寻常的形状。

碎形

图2a展示了科赫雪花（Koch snowflake），一个可以帮助我们理解上述悖论的图形。图2b说明了该图形的构建方法：

图2：（a）科赫雪花及（b）如何透过一系列重复的步骤构建科赫雪花。

光滑曲线被放大时形状会变得简单，但科赫雪花与光滑曲线不同，它在每个比例下形状始终保持复杂（图3）。进一步放大会显现更多细节，而每个层次上的图案都展示出相似性，使其成为“碎形”。要计算其三条边之中其中一条的长度：

• 记得我们最初由一条长度为1的线段开始。
• 下一回合产生出四条长度为1/3的线段，使总长度为4/3。
• 第三回合将每条线段再变为四分，得出16条长度为1/9的线，使总长度为16/9……

如此类推，每回合的总长度构成了一个公比为4/3的等比数列。由于公比大于一，长度将无限增大，因此科赫雪花有无限长的周界。

像科赫雪花这样具无限长度的曲线被称为“不可求长曲线”，它们无法像一条绳子般被“拉直”然后量度长度。

图3：上图展示（a）光滑曲线被放大时几乎简化成一条直线，而（b）科赫雪花在每个比例下形状始终保持复杂。

值得注意的是，许多著名的碎形均展示出“自相似性”，意味着它们在不同缩放比例下看起来都相似，比如曼德布洛特集合（Mandelbrot set）、朱利亚集合（Julia set）、谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle或Sierpinski gasket）及谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）。

碎形维度

让我们以直觉思考：我们对形状的经验告诉我们，任何有界的一维物体（如线段）都有非零但有限的长度，且其面积为零；有界的二维物体（如表面，例如一张纸）则因为可以被视为由无数条线构成，所以具有无限“长度”，而同时拥有非零但有限的面积。这样的话，科赫雪花又应该如何定位呢？如果我们把科赫雪花视为中空的形状，那么它同时拥有无限周长但零面积这一点，就反映了其维度介乎一和二之间。

这个直观的想法让我们萌生非整数维度的概念 — 碎形维度，它能描述几何形状的“复杂性”。 例如在找出科赫雪花的碎形维度之前，让我们回顾维度的定义：试想像一个边长为1的二维正方形，我们知道将其边长乘二，会获得 4 = 2² 个原来的正方形；乘三就会获得 9 = 3² 个原来的正方形，这正因为该正方形是二维的。简单来说，放大或缩小一个维度为 d 的形状时，若缩放因子为 c ，结果将会得出 c^d 个原来形状的副本（你可以尝试用一条线或立方体来验证这一点）。

现在让我们检视科赫雪花的顶部。根据雪花的构建方法，将雪花放大为原来的三倍将得出四个原来形状的副本。因此，如果我们需要决定科赫雪花的维度 d，那么根据上述推理，公式将变成 4 = 3^d，换言之 d = log 4 / log 3。 那么海岸线呢？严格来说，海岸线并不是碎形，因为碎形是抽象的理论图形，但海岸线具有碎形的部分特征，与碎形相似得人们会尝试计算其碎形维度，譬如在地图上看起来光滑的南非海岸线拥有1.02的碎形维度，而西班牙与葡萄牙的边界，以及英国西海岸的碎形维度分别为1.14和1.25 [8]，意味着它们的形状较为复杂。

结论

讨论了这么久，到底我们能测量海岸线的长度吗？海岸线悖论的关键在于海岸线属于不可求长曲线，因为现实世界中不存在完全光滑的边界；当您在地图上放大海岸线时，总是出现更多弯曲的部分（通常是岩石），使海岸线的长度增加。

此外，长度还取决于所采用的标准。不难想象，不同涨退水位下测量的海岸线长度会显著不同，因为潮涨时陆地可能会被淹没而变得不可见。如果海岸线上有一条河流，是否以及如何将河口及其支流纳入海岸线长度将会是一个具挑战性的问题。因此，简单的答案是：没有海岸线可以被客观地量度。

数学挑战站

让我们来计算科赫雪花的面积！设最初未进行任何重复步骤前的三角形边长为 s，试以 s表示科赫雪花在最初数次重复过程后的面积。求重复过程次数趋向无限时的面积。（提示：等比数列的无限项之和）

答案可见于页尾。

参考资料

[1] Central Intelligence Agency. (2025, August 6). Hong Kong. The World Factbook. https://www.cia.gov/the-world-factbook/countries/hong-kong/#geography

[2] World Resources Institute. (2012, Apr 19). Coastal and Marine Ecosystems — Marine Jurisdictions: Coastline length. EarthTrends. https://web.archive.org/web/20120419075053/http://earthtrends.wri.org/text/coastal-marine/variable-61.html

[3] Hong Kong Government. (2024, September). Hong Kong: The Facts – Environmental Protection. https://www.gov.hk/en/about/abouthk/factsheets/docs/environmental_protection.pdf

[4] Hayes, B. (2021). Statistics of Deadly Quarrels. American Scientist, 90(1), 10–15. http://www.jstor.org/stable/27857587

[5] Crilly, T. (1995). Reviewed Work: Collected Papers of Lewis Fry Richardson. The Mathematical Gazette, 79(486), 625–628.

[6] Spatial Data Science. (n.d.). The length of a coastline. https://rspatial.org/cases/2-coastline.html

[7] The Imagine Team, Goddard Space Flight Center. (2020, October 22). The Cosmic Distance Scale. Imagine the Universe! https://imagine.gsfc.nasa.gov/features/cosmic/earth_info.html

[8] Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 156(3775), 636–638.

作者

香港科技大学《科言》学生编辑 Devandhira Wijaya Wangsa

翻译

香港科技大学《科言》总编辑 刘劭行

数学挑战站答案

科赫雪花的面积可被表示为

2s²√3 5

题解可见于此（只提供英文版本）。

2026年9月