欧拉数e的魔力

什么是欧拉数？

你是否遇过能连结数学、科学与我们周遭世界的数字？欧拉数是其中非常有趣的一个，经常被写作e。这是一个特殊的常数，约等于2.718，亦是无数自然与科学现象的核心。作为自然对数的基础，它能帮助我们理解事物随时间增长或衰减的过程。从实验室繁殖的细菌到天空逐渐黯淡的星星，e出现在无数自然现象中 [1]。令人惊讶的是，这个数字最初并非在科学实验室中被发现，而是源自一个关于金融的谜题。让我们一起探索e如何变得不平凡。

发现于金融的数学瑰宝

e的故事始于17世纪，当时数学家Jacob Bernoulli对微小变化的累积方式感到兴趣 [2, 3]。假设你有1.00元，并获得一个不切实际的100% 年增长率。如果这笔增长在年底一次性计算，你的1.00元会翻倍成2.00元。但如果增长结算得更频繁呢？

假设每年计算两次，每六个月增长50%，那么你的1.00元在年底会变成1.00 × 1.5 × 1.5 = 2.25元。如果每年计算四次，每次增长25%，你的1.00元会变成1.00 × 1.25 × 1.25 × 1.25 × 1.25 = 2.44元。每月计算则为1.00 × (1 + 1/12)^12，约为2.61元。规律很明显：计算越频繁，结果越大。

然后最兴奋的部分来了。如果增长每天、每分钟，甚至每秒计算一次呢？公式将变为1.00 × (1 + 1/n)^n，其中n是计算增长的次数。当n趋近无限大时，结果并不会无限增长，而是趋近于2.718281828459045...。这个数字就是e！Bernoulli发现了这个常数，揭示了这个意义远超过他最初问题的数学瑰宝。

e在我们世界中的力量

为什么e如此重要？这个数字以在18世纪深入研究其性质的Leonhard Euler命名，及后成为了理解出现在生物学、物理学、医学和工程学等领域中指数变化的钥匙。其独特性质使它成为一个理想工具去描述正在加快或减慢的过程，例如越滚越大的雪球或逐渐消逝的耳语。它还能简化复杂问题，成为科学家和工程师的首选工具。

在生物学中，e用于为种群增长建立模型。想象一个每小时数量翻倍的细菌群落，其平滑且越发陡峭的增长曲线以e来预测一天或一周后的细菌数量 [4]。在生态学中，e协助追踪动物种群的扩张或资源（如鱼类）在过度开发下的衰减。保育人士用e估算濒危物种在受保护情况下的恢复进度 [4]。在物理学和化学中，e描述衰变过程，例如铀等放射性元素如何随时间流失能量。科学家依赖e计算物质的半衰期，即一半物质分解的所需时间，这对于医院及核电厂安全处理放射性物质至关重要。

在日常生活中，e在工程和科技上大放异彩，使我们生活变得便利。它为电路中电容器如何储存电荷提供量化描述，是设计手机和计算机等设备的关键。在医学中，e帮助追踪药物在人体中吸收或清除的速度，协助医生判断安全剂量。在技术领域，e是讯号处理算法的基础，确保耳机能播放清晰的音频和网站能播放流畅的串流短片。

看似微小数字的巨大影响

e的特别之处在于它连结了上述各式各样的现象。它约为2.718的值看似微小，但影响力巨大。下次当你听到病毒散播、物种保育或简单如一杯茶冷却时，想想e — 这个默默无闻却在解开世界奥秘中扮演重要角色的数字。

现实的考古问题：碳-14定年法

碳-14定年法是考古学上用于测定有机样本年龄的方法，测定范围从500年到50,000年 [5]。碳-14是不稳定的放射性同位素，会衰变成氮-14。活植物通过固碳作用将大气中的碳-14纳入其组织，经食物链传递至动物。活体组织中的碳-14比例相对稳定，因为生物不断摄入空气和食物，抵銷了碳-14的持续衰减；但生物一旦死亡，碳-14含量就会出现净减少。

衰变过程可以用指数衰减函数表示：N = N₀ e^-kt，其中N是未衰减核的数量，N₀是初始未衰减核的数量，k是衰变常数，t是经过的时间 [6, 7]。碳-14的半衰期t_1/2，即放射性同位素衰减一半所需的时间，约为5,730年。如果我们有一块古代木材，其碳-14含量是活树的四成，试计算：
1) 衰变常数k（准确至四位小数）。
2) 木材的年龄（准确至最接近的年）。

答案

参考数据：

[1] 3Blue1Brown. (2017, May 2). What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es
[2] Kenton, W. (2025, May 10). Euler's Number (e) Explained, and How It Is Used in Finance.
Investopedia. https://www.investopedia.com/terms/e/eulers-constant.asp
[3] Reichert, S. (2019). e is everywhere. Nature Physics, 15(9), 982.
https://doi.org/10.1038/s41567-019-0655-9
[4] Vandermeer, J. (2010). How Populations Grow: The Exponential and Logistic Equations. Nature Education Knowledge, 3(10), 15.
https://www.nature.com/scitable/knowledge/library/how-populations-grow-the-exponential-and-logistic-13240157/
[5] Augustyn, A. (2025, May 28). Carbon-14 dating. Encyclopaedia Britannica.
https://www.britannica.com/science/carbon-14-dating
[6] Friedrich, K. (2023, March 16). Euler's Number Is Seriously Everywhere. Here's What Makes It So Special. Popular Mechanics.
https://www.popularmechanics.com/science/math/a43341607/what-is-eulers-number/
[7] Boelkins, M. (2022). Mathematics of carbon dating. EBSCO.
https://www.ebsco.com/research-starters/mathematics/mathematics-carbon-dating

作者︰

香港科技大学《科言》学生编辑 杨静悠

2025年12月